Siman 582
Presented here for study, not as a practical ruling. The Shulchan Aruch rules by Sephardi custom, the Rema's glosses by Ashkenazi custom, and the Kitzur follows Ashkenazi custom. For a practical question, ask your rabbi.
א בַּעֲשֶׂרֶת יְמֵי תְּשׁוּבָה אוֹמֵר: הַמֶּלֶךְ הַקָּדוֹשׁ, הַמֶּלֶךְ הַמִּשְׁפָּט; וְאִם טָעָה אוֹ שֶׁהוּא מְסֻפָּק אִם הוּא בְּהַמֶּלֶךְ הַקָּדוֹשׁ, חוֹזֵר לְרֹאשׁ; וְאִם הוּא בְּהַמֶּלֶךְ הַמִּשְׁפָּט, אִם נִזְכַּר קֹדֶם שֶׁעָקַר רַגְלָיו, חוֹזֵר לְבִרְכַּת הָשִׁיבָה וְאוֹמֵר מִשָּׁם וָאֵילָךְ עַל הַסֵדֶר; וְאִם לֹא נִזְכַּר עַד שֶׁעָקַר רַגְלָיו עַיֵּן לְעֵיל סוֹף סִימָן קי"ז, חוֹזֵר לְרֹאשׁ עַיֵּן לְעֵיל סִימָן קי"ח.
1 The Order of Prayers for the Ten Days of Repentance and Rosh HaShana. And in it is 9 paragraphs. In the Ten Days of Repentance say The Holy King and The King of Judgment. If one made a mistake or even if one is uncertain, (the rule is as follows:) If it is with "HaMelech HaKadosh" he should go back to the beginning. If it is HaMelech HaMishpat if prior to uprooting his feet, he should go back to the Birchas Hasheveinu and say from there and on according to the order. If he did not remember until he uprooted his feet (see before the end of Siman 117) he should got back to the beginning (i.e. repeat). [Also see Siman 118.]
ב אִם אָמַר: הָאֵל הַקָּדוֹשׁ, וְתוֹךְ כְּדֵי דִּבּוּר נִזְכַּר וְאָמַר: הַמֶּלֶךְ הַקָּדוֹשׁ, אֵינוֹ צָרִיךְ לַחֲזֹר; וְכֵן הַדִּין בְּהַמֶּלֶךְ הַמִּשְׁפָּט.
2 If one said The Holy God and within a moment he remembered and says The Holy King, he does not need to go return (the beginning). The same rule applies with The Holy Judge.
ג בְּשַׁבָּת בֵּינְתַיִם, עַרְבִית יֹאמַר בְּבִרְכַּת מֵעֵין שֶׁבַע: הַמֶּלֶךְ הַקָּדוֹשׁ. הַגָּה: וְה"ה אִם חָל רֹאשׁ הַשָּׁנָה בְּשַׁבָּת; וְחוֹתֵם בְּשֶׁל שַׁבָּת לְבַד, וְכֵן כְּשֶׁחָל יוֹם כִּפּוּר בְּשַׁבָּת (מַהֲרִי"ל וּמִנְהָגִים).
3 In the Shabbos between (R'H and Yom Kippur), at Maariv say in the Birchas Mein Sheva The Holy King. Rema: So to if Rosh HaShana was on Shabbos but the conclusion is Shabbos alone. And the same is if Yom Kippur was on Shabbos [Maharil and Minhagim]
ד יֵשׁ נוֹהֲגִים לְהִתְפַּלֵּל בְּרֹאשׁ הַשָּׁנָה וְיוֹם הַכִּפּוּרִים בִּכְרִיעָה, וּצְרִיכִין הֵם לִזְקֹף בְּסוֹף הַבְּרָכוֹת.
4 There are those who have the custom to pray on Rosh HaShanah and on Yom Kippur while bowing; it is necessary for them to straighten up at the end of the blessings
ה אִם לֹא אָמַר: זָכְרֵנוּ, וּמִי כָּמוֹךָ, אֵין מַחֲזִירִין אוֹתוֹ. הַגָּה: וַאֲפִלּוּ לֹא עָקַר רַגְלָיו עֲדַיִן, רַק שֶׁסִּיֵּם אוֹתָהּ בְּרָכָה (תְּרוּמַת הַדֶּשֶׁן), וְה"ה אִם לֹא אָמַר: וּכְתֹב, וּבְסֵפֶר, נָמֵי דִּינָא הָכֵי (טוּר).
5 If one did not say "Remember Us" or "Who is like You", one does not return to it. Rema: Even if one did not uproot their feet yet, rather that the Blessing was completed (Terumas HaDeshen). So to if one did not say "And write" and "and in the Book" also the rule is so (Tur)
ו אוֹמֵר בַּתְּפִלָּה: וַתִּתֶּן לָנוּ אֶת יוֹם הַזִּכָּרוֹן הַזֶּה, וְאֵינוֹ מַזְכִּיר רֹאשׁ חֹדֶשׁ.
6 And in the Prayers (of Rosh HaShana) say "vTiten Lanu Es Yom HaZichron Hazeh" "And He gave to us this Day of Remembrance", and do not mention Rosh Chodesh.
ז אִם חָל בַּחֹל, אוֹמֵר: יוֹם תְּרוּעָה מִקְרָא קֹדֶשׁ; וְאִם חָל בְּשַׁבָּת, אוֹמֵר: זִכְרוֹן תְּרוּעָה.
7 If (Rosh HaShana) is during the week, say "A Day of Blasting, a Holy Convocation". If it fell on Shabbos, say "a Reminder of Blasting".
ח אֵינוֹ אוֹמֵר: מוֹעֲדִים לְשִׂמְחָה, חַגִים וּזְמַנִּים לְשָׂשׂוֹן; וְכֵן אֵינוֹ אוֹמֵר: וְהַשִּׂיאֵנוּ; וּבִתְפִלַּת מוּסָף אֵינוֹ אוֹמֵר: וְאֵין אָנוּ יְכוֹלִין לַעֲלוֹת וְלֵרָאוֹת לְפָנֶיךָ, אֶלָּא וְאֵין אָנוּ יְכוֹלִים לַעֲשׂוֹת חוֹבוֹתֵינוּ לְפָנֶיךָ וְחוֹתְמִין וּדְבָרְךְ אֱמֶת וְכו' (טוּר).
8 We do not say "holidays for joy, pilgrimages and times for happiness" and we do not say "and grant for us...". During Mussaf, we do not say "we are unable to ascend and be seen before You." Instead, we say "we are unable to perform our obligations for You," (and we conclude the blessing with "Your word is truth etc.") (Tur).
ט אַף עַל פִּי שֶׁכָּל יְמוֹת הַשָּׁנָה מִתְפַּלְּלִים בְּלַחַשׁ, בְּרֹאשׁ הַשָּׁנָה וְיוֹם הַכִּפּוּרִים נוֹהֲגִין לוֹמַר בְּקוֹל רָם. וּלְהַטְעוֹת לֹא חַיְישִׁינָן, כֵּיוָן שֶׁמְּצוּיִים בְּיָדָם מַחְזוֹרִים. הַגָּה: וְנוֹהֲגִין שֶׁכָּל אֶחָד אוֹמֵר לַחֲבֵרוֹ: לְשָׁנָה טוֹבָה תִּכָּתֵב (טוּר).
9 Even though during the rest of the year we pray silently, on Rosh Hashanah we have the practice to pray out loud. There is no concern about getting lost because everybody has a Machzor. Rema: It is the practice that everybody says to their fellow "May you be inscribed for a good year" (Tur).