Siman 668
Presented here for study, not as a practical ruling. The Shulchan Aruch rules by Sephardi custom, the Rema's glosses by Ashkenazi custom, and the Kitzur follows Ashkenazi custom. For a practical question, ask your rabbi.
א לֵיל שְׁמִינִי אוֹמֵר בַּתְּפִלָּה: וַתִּתֶּן לָנוּ אֶת יוֹם שְׁמִינִי חַג הָעֲצֶרֶת הַזֶּה. הַגָּה: וְאָנוּ נוֹהֲגִין שֶׁאֵין אוֹמְרִים חַג בַּשְּׁמִינִי, דְּלֹא מָצִינוּ בְּשׁוּם מָקוֹם שֶׁנִּקְרָא חַג, אֶלָּא אוֹמְרִים יוֹם שְׁמִינִי עֲצֶרֶת (מִנְהָגִים). וּבְחוּצָה לָאָרֶץ, אוֹכְלִים בַּסֻכָּה בַּלַּיְלָה וּבַיּוֹם, מִפְּנֵי שֶׁהוּא סְפֵק שְׁבִיעִי, וְאֵין מְבָרְכִין עַל יְשִׁיבָתָהּ, וּמְקַדְּשִׁין וְאוֹמְרִים זְמַן.
1 The order of prayers on the eighth night and day, 2 Seifim: On the night of Shmini Atzeret, we say in the Amidah "and You gave us this eighth day as a festival of Atzeret." Rema: We do not refer to the eighth day as a "festival" because there is nowhere [in the Torah] that it is called a festival. Rather, we say "the eighth day of Atzeret." Outside of Israel, they eat in the sukkah at night and during the day because it might be the seventh day. They do not bless on this sitting. We say Kiddush with Shehecheyanu.
ב שַׁחֲרִית מוֹצִיאִין שְׁלֹשָׁה סְפָרִים, וְקוֹרִין בְּאֶחָד מִוְּזֹאת הַבְּרָכָה עַד סוֹף הַתּוֹרָה; וּבַשֵּׁנִי, בְּרֵאשִׁית עַד אֲשֶׁר בָּרָא אֱלֹהִים לַעֲשׂוֹת; וּבַשְּׁלִישִׁי, בְּיוֹם הַשְּׁמִינִי עֲצֶרֶת, וּמַפְטִיר: וַיְהִי אַחֲרֵי מוֹת מֹשֶׁה. וּבְמָקוֹם שֶׁעוֹשִׂין שְׁנֵי יָמִים טוֹבִים אֵין מוֹצִיאִין בַּיּוֹם הָרִאשׁוֹן אֶלָּא שְׁנֵי סְפָרִים, וְקוֹרִין בְּאֶחָד חֲמִשָּׁה בְּפָרָשַׁת רְאֵה מִכָּל הַבְּכוֹר, וְאִם הוּא שַׁבָּת קוֹרִין ז' וּמַתְחִילִין: עַשֵּׂר תְּעַשֵּׂר, וְהַמַּפְטִיר קוֹרֵא בַּשֵּׁנִי: בַּיּוֹם הַשְּׁמִינִי עֲצֶרֶת, וּמַפְטִיר בִּמְלָכִים: וִיהִי כְּכַלּוֹת שְׁלֹמֹה, וּמַחְזִיר הַסְפָרִים וְאוֹמֵר קַדִּישׁ, וּמַכְרִיז: מַשִּׁיב הָרוּחַ וּמוֹרִיד הַגֶּשֶׁם.
2 At Shacharit, we take out three Torah scrolls. From the first, we read from "And this is the blessing" [Deuteronomy 33:1] until the end of the Torah. From the second, we read "In the beginning" [Genesis 1:1] until "that God made" [2:3]. In the third we read "On Shmini Atzeret" [Numbers 29:35]. The haftarah is "And after Moses died" [Joshua 1:1]. In places where they do two days of Yom Tov, they only take two Torah scrolls out on the first day, reading five sections from Re'eh from the first from "every firstborn" [Deuteronomy 15:1]. If it is Shabbat, they read seven and start at "You should tithe" [14:22]. The maftir reads from the second Torah "On Shmini Atzeret." The haftarah is from Kings, "When Solomon finished..." [Kings I 8:1]. The Torah scrolls are returned. We say Kaddish and then announce [the addition of] "who makes the wind blow and the rain fall."